حل تمرین صفحه 123 فصل 8 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 123 - تمرین 1 این تمرین به ما کمک می‌کند تا با دسته‌بندی داده‌های پیوسته و رسم هیستوگرام (نمودار میله‌ای) آشنا شویم. هدف این است که ۳۰ طول عمر لامپ را در ۵ گروه مساوی قرار دهیم. ### گام اول: محاسبه دامنه تغییرات ابتدا باید **دامنه تغییرات** (Range) را به دست آوریم، یعنی اختلاف بین بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین طول عمر اندازه‌گیری شده. 1. **بزرگ‌ترین داده (Max):** با بررسی تمام $30$ داده، بیشترین طول عمر برابر است با **$172$** ساعت. 2. **کوچک‌ترین داده (Min):** کمترین طول عمر برابر است با **$153$** ساعت. $$دامنه \ تغییرات = بزرگترین \ داده - کوچکترین \ داده$$ $$دامنه \ تغییرات = 172 - 153 = 19$$ **دامنه تغییرات** برابر با **$19$** ساعت است. --- ### گام دوم: محاسبه طول هر دسته در سؤال خواسته شده است که داده‌ها را به **۵ دسته** (تعداد دسته‌ها $k=5$) تقسیم کنیم. برای پیدا کردن **طول هر دسته** $(w)$، دامنه تغییرات را بر تعداد دسته‌ها تقسیم می‌کنیم: $$طول \ هر \ دسته \ (w) = \frac{دامنه \ تغییرات}{تعداد \ دسته \ ها}$$ $$w = \frac{19}{5} = 3.8$$ از آنجایی که طول دسته معمولاً باید یک عدد رُند باشد، می‌توانیم طول دسته را **$4$** در نظر بگیریم. با این انتخاب، دامنه جدید ما $5 \times 4 = 20$ خواهد شد و همه داده‌ها پوشش داده می‌شوند. --- ### گام سوم: تعیین مرز دسته‌ها و تشکیل جدول فراوانی با طول دسته $w=4$ و شروع از کوچک‌ترین داده $153$، دسته‌ها به صورت زیر تعیین می‌شوند: | شماره دسته | حدود دسته (طول عمر به ساعت) | فراوانی (تعداد لامپ‌ها) | | :---: | :---: | :---: | | **۱** | $[153, 157)$ (از $153$ تا کمتر از $157$) | $153, 153, 153, 153, 156, 156$ $\rightarrow$ **۶** | | **۲** | $[157, 161)$ (از $157$ تا کمتر از $161$) | $157, 157, 157, 157, 158, 158, 158, 159, 159$ $\rightarrow$ **۹** | | **۳** | $[161, 165)$ (از $161$ تا کمتر از $165$) | $161, 161, 163, 163, 163, 163$ $\rightarrow$ **۶** | | **۴** | $[165, 169)$ (از $165$ تا کمتر از $169$) | $165, 165, 167, 168, 168$ $\rightarrow$ **۵** | | **۵** | $[169, 173]$ (از $169$ تا $173$) | $169, 169, 169, 170, 171, 172$ $\rightarrow$ **۴** | | **جمع** | | **$30$** | **توضیح:** مجموع فراوانی‌ها $6 + 9 + 6 + 5 + 4 = 30$ است که برابر با تعداد کل لامپ‌ها است. --- ### گام چهارم: رسم نمودار میله‌ای (هیستوگرام) با استفاده از جدول فراوانی بالا، **نمودار میله‌ای (هیستوگرام)** را رسم می‌کنیم. محور افقی **حدود دسته‌ها** و محور عمودی **فراوانی** را نشان می‌دهد. **تفسیر نمودار:** نمودار نشان می‌دهد که بیشترین طول عمر لامپ‌ها (با ۹ لامپ) در دسته **$[157, 161)$** ساعت قرار دارد. این یعنی بیشترین تعداد لامپ‌ها بین ۱۵۷ ساعت تا کمتر از ۱۶۱ ساعت عمر کرده‌اند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 123 - تمرین 2 این تمرین، تمرینی برای خواندن و تفسیر اطلاعات از روی یک **نمودار میله‌ای (هیستوگرام)** است. ### قسمت اول: پیدا کردن تعداد دانش‌آموزانی که ۱۰ دقیقه یا بیشتر در راهند. **توجه:** در هیستوگرام، هر میله نشان‌دهنده یک بازه زمانی (یک دسته) است و ارتفاع میله **تعداد دانش‌آموزان** (فراوانی) در آن بازه را نشان می‌دهد. دانش‌آموزانی که فاصله را در **۱۰ دقیقه یا بیشتر** طی می‌کنند، شامل دو دسته زیر هستند: 1. **دسته $10-15$ دقیقه:** مدت زمانی از ۱۰ دقیقه تا کمتر از ۱۵ دقیقه. ارتفاع این میله **۵** است. 2. **دسته $15-20$ دقیقه:** مدت زمانی از ۱۵ دقیقه تا کمتر از ۲۰ دقیقه. ارتفاع این میله **۱** است. برای به دست آوردن تعداد کل، فراوانی این دو دسته را با هم جمع می‌کنیم: $$تعداد \ دانش \ آموزان \ (\ge 10 \ دقیقه) = (فراوانی \ دسته \ 10-15) + (فراوانی \ دسته \ 15-20)$$ $$تعداد \ دانش \ آموزان = 5 + 1 = 6$$ **۶ دانش‌آموز** فاصله خانه تا مدرسه را در ۱۰ دقیقه یا بیشتر طی می‌کنند. --- ### قسمت دوم: پیدا کردن تعداد کل دانش‌آموزان کلاس برای پیدا کردن **تعداد کل دانش‌آموزان**، باید فراوانی‌های (ارتفاعات) تمام دسته‌ها را با هم جمع کنیم: * دسته $0-5$ دقیقه: **۲** دانش‌آموز * دسته $5-10$ دقیقه: **۸** دانش‌آموز * دسته $10-15$ دقیقه: **۵** دانش‌آموز * دسته $15-20$ دقیقه: **۱** دانش‌آموز $$تعداد \ کل \ دانش \ آموزان = 2 + 8 + 5 + 1 = 16$$ این کلاس **۱۶ دانش‌آموز** دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 123 - تمرین 3 این تمرین شامل تحلیل یک نمودار میله‌ای (هیستوگرام) نمرات است. ما باید اطلاعات را استخراج، دسته‌بندی را ارزیابی و وضعیت کلی کلاس را توصیف کنیم. ### قسمت اول: تعداد کل دانش‌آموزان کلاس برای پیدا کردن **تعداد کل دانش‌آموزان**، باید فراوانی‌های (ارتفاعات) تمام میله‌ها را با هم جمع کنیم: * دسته $0-4$ (نمرات ضعیف): **۰** دانش‌آموز * دسته $4-8$ (نمرات ضعیف): **۲** دانش‌آموز * دسته $8-12$ (نمرات متوسط): **۱۲** دانش‌آموز * دسته $12-16$ (نمرات خوب): **۱۶** دانش‌آموز * دسته $16-20$ (نمرات عالی): **۰** دانش‌آموز $$تعداد \ کل \ دانش \ آموزان = 0 + 2 + 12 + 16 + 0 = 30$$ این کلاس **$30$ دانش‌آموز** دارد. --- ### قسمت دوم: ارزیابی مناسب بودن دسته‌بندی **پاسخ:** بله، این دسته‌بندی **مناسب** است. **چرا؟** 1. **پوشش کامل:** دسته‌ها از $0$ شروع شده و تا $20$ ادامه پیدا کرده‌اند. این یعنی تمام نمرات احتمالی (از $0$ تا $20$) در این دسته‌بندی قرار گرفته‌اند. 2. **طول دسته مساوی:** طول هر دسته $4$ نمره است (مثلاً $4-0=4$ و $8-4=4$ و...) که برای دسته‌بندی داده‌های پیوسته مانند نمرات، یک روش استاندارد و خوب است. 3. **تعداد دسته‌ها منطقی:** استفاده از ۵ دسته $(0-4, 4-8, 8-12, 12-16, 16-20)$ برای ۳۰ داده، مناسب است و توزیع نمرات را به خوبی نشان می‌دهد. --- ### قسمت سوم: توصیف وضعیت کلاس **پاسخ:** وضعیت این کلاس از نظر نمرات **بسیار خوب** است. **چرا؟** 1. **تمرکز نمرات بالا:** بیشترین تعداد دانش‌آموزان (**۱۶ نفر**) در دسته **$12$ تا $16$** (نمرات خوب) قرار دارند. 2. **ضعیف کم:** تنها **۲ نفر** نمره‌شان کمتر از $8$ است (دسته $4-8$). هیچ دانش‌آموزی هم نمره زیر $4$ ندارد. 3. **عدم وجود نمره عالی:** اگرچه هیچ کس نمره $16$ تا $20$ (عالی) نگرفته است، اما تمرکز تعداد زیادی از دانش‌آموزان در نمرات خوب $(12-16)$ نشان‌دهنده میانگین خوب و عملکرد قوی کلاس است. **نتیجه‌گیری:** بیشتر دانش‌آموزان در محدوده نمرات **$8$ تا $16$** قرار دارند ($12 + 16 = 28$ نفر)، که نشان می‌دهد تلاش و یادگیری در کلاس بالا است.